Αναφορά Άλγεβρα (Β Λυκείου) - Βιβλίο Μαθητή

 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1^o ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ

Γωνίες αντίθετες

Αν οι γωνίες ω και ω' είναι αντίθετες, δηλαδή αν ω' = −ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ΄ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα x'x. Επομένως τα σημεία αυτά έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι :

 

συν (−ω) = συνω         ηµ (−ω) = −ηµω εϕ (−ω) = −εϕω           σϕ (−ω) = −σϕω

Δηλαδή :
οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Γωνίες με άθροισμα 180

Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισμα 180^o , δηλαδή αν ω' = 180^o − ω , τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y'y . Επομένως τα σημεία αυτά έχουν την ίδια τεταγμένη και αντίθετες τετμημένες. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι :  

ημ(180^o − ω)  = ημω          συν (180^o − ω) = −συνω
εφ (180^o − ω) = −εϕω           σϕ (180^o − ω) = −σϕω Δηλαδή :

Οι γωνίες με άθροισμα 180 έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Γωνίες που διαφέρουν κατά 180

Αν οι γωνίες ω και ω' διαφέρουν κατά 180, δηλαδή αν ω' = 180 + ω , τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων. Επομένως τα σημεία αυτά έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι :

ημ(180 + ω) = −ημω       συν (180 + ω) = −συνω
εφ (180+ ω) = εϕω           σϕ (180 + ω) = σϕω Δηλαδή :

Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 180 έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.

Γωνίες με άθροισμα 90

Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισμα 90,δηλαδή ω' = 90 − ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα
σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της γωνίας xOy . Επομένως η τετμημένη του καθενός ισούται με την τεταγμένη του άλλου. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι :

ημ(90 − ω) = συνω       συν (90 − ω) = ημω
εφ (90− ω) = σϕω           σϕ (90 − ω) = εϕω

Δηλαδή,

Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα 90 , τότε το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφαπτομένη της μιας ισούται με τη συνεφαπτομένη της άλλης.

Από τα προηγούμενα καταλαβαίνουμε ότι δεν χρειάζεται να έχουμε πίνακες τριγωνομετρικών αριθμών όλων των γωνιών, αλλά μόνο των γωνιών από 0 μέχρι 90.